2025학년도 수능 수학 문제 모음(Latex 변환)

문제 23

$(x^3 + x^2)^5$의 전개식에서 $x^6$의 계수는?
① 40 ② 50 ③ 60 ④ 70 ⑤ 80

문제 24

$P(A|B) = P(A) = \frac12$, $P(A \cap B) = \frac15$ 일 때, $P(A \cup B)$는?
① $\frac12$ ② $\frac35$ ③ $\frac{7}{10}$ ④ $\frac45$ ⑤ $\frac{9}{10}$

문제 25

정규분포 $N(m, 2^2)$를 따르는 모집단에서 $n=256$ 표본을 추출하여 얻은 표본평균으로 구한 $m$의 95% 신뢰구간이 $a \le m \le b$일 때, $b-a$의 값은?
(단, $P(|Z| \le 1.96) = 0.95$)
① 0.49 ② 0.52 ③ 0.55 ④ 0.58 ⑤ 0.61

문제 26

16명 중 과목 A 선택 9명, 과목 B 선택 7명일 때, 임의로 3명을 뽑아 적어도 한 명이 과목 B인 확률은?
① $\frac34$ ② $\frac45$ ③ $\frac{17}{20}$ ④ $\frac{9}{10}$ ⑤ $\frac{19}{20}$

문제 27

숫자 $1, 3, 5, 7, 9$가 각각 하나씩 적혀 있는 5장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다.
이 주머니에서 임의로 1장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다.
이 시행을 3번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 $X$라 하자.
$V(aX+6) = 2$일 때, 양수 $a$의 값은?

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

문제 28

집합 $X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : X \to X$의 개수는?

(가) $f(1) \times f(6)$의 값이 6의 약수이다.
(나) $2f(1) \le f(2) \le f(3) \le f(4) \le f(5) \le 2f(6)$

① 166 ② 171 ③ 176 ④ 181 ⑤ 186

문제 29

정규분포 $N(m_1, \sigma_1^2)$를 따르는 확률변수 $X$와 정규분포 $N(m_2, \sigma_2^2)$를 따르는 확률변수 $Y$가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 $x$에 대하여
$$
P(X \le x) = P(Y \ge 40 - x), \quad P(Y \le x) = P(X \ge x + 10)
$$

$P(15 \le X \le 20) + P(15 \le Y \le 20)$의 값은 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $0.4772$일 때, $m_1 + \sigma_2$의 값을 구하시오.

(단, $\sigma_1$과 $\sigma_2$는 양수이다.)

$z$$P(0 \le Z \le z)$0.50.19151.00.34131.50.43322.00.4772

문제 30

탁자 위에 5개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 5개의 동전 중 1번째 자리와 2번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 3개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 5개의 동전과 함께 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

• 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때, $k \le 5$이면 눈에 해당하는 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓고, $k = 6$이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.

이 시행을 3번 반복한 후 5개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률을 $\frac{p}{q}$라 한다. $p + q$의 값을 구하시오.
(단, $p, q$는 서로소인 자연수이다.)

문제 23

$$
\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\sin2 x}
$$
의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

문제 24

$$
\int_0^{10} \frac{x + 2}{x + 1} , dx
$$
의 값은?
① $10 + \ln 5$ ② $10 + \ln 7$ ③ $10 + 2\ln 3$ ④ $10 + \ln 11$ ⑤ $10 + \ln 13$

문제 25

수열 ${a_n}$에 대하여
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n a_n}{n^2 + 3} = 1
$$
일 때,
$$
\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{a_n^2 + n} - a_n \right)
$$
의 값은?
① $\frac{1}{3}$ ② $\frac{1}{2}$ ③ 1 ④ 2 ⑤ 3

문제 26

곡선 $y = \sqrt{\frac{x+1}{x(x + \ln x)}}$과 $x$축 및 두 직선 $x=1$, $x=e$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다.
이 입체도형을 축 $y$축에 수직인 방향으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?
① $\ln(e + 1)$ ② $\ln(e + 2)$ ③ $\ln(e + 3)$ ④ $\ln(2e + 1)$ ⑤ $\ln(2e + 2)$

문제 27

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여
$$
g(x) = f(e^x) + e^x
$$
이라 하자. 곡선 $y = g(x)$ 위의 점 $(0, g(0))$에서의 접선이 $x$축이고, 함수 $g(x)$가 연속수 $h(x)$를 가질 때, $h(8)$의 값은?
① $\frac{1}{36}$ ② $\frac{1}{18}$ ③ $\frac{1}{12}$ ④ $\frac{1}{9}$ ⑤ $\frac{5}{36}$

문제 28

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가
$$
f'(x) = -x + e^{1 - x^2}
$$
이다. 양수 $t$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선과 곡선 $y = f(x)$ 및 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$라 하자. $g(1) + g'(1)$의 값은?
① $\frac{1}{2} e + \frac{1}{2}$ ② $\frac{1}{2} e + \frac{2}{3}$ ③ $\frac{1}{2} e + \frac{5}{6}$ ④ $\frac{2}{3} e + \frac{1}{2}$ ⑤ $\frac{2}{3} e + \frac{2}{3}$

문제 29

등차수열 ${a_n}$이
$$
\sum_{n=1}^\infty (|a_n| + a_n) = \frac{40}{3}, \quad \sum_{n=1}^\infty (|a_n| - a_n) = \frac{20}{3}
$$
을 만족시킨다.
부등식
$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left( \left| (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \right| \times a_{m+k} \right) > \frac{1}{700}
$$
을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구하시오.

문제 30

두 상수 $a (1 \le a \le 2), b$에 대하여
$$
f(x) = \sin(ax + b + \sin 2x)
$$
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 0$, $f(2\pi) = 2\pi a + b$
(나) $f'(0) = f'(\pi)$일 때, 양수 $a$의 최솟값은 4이다.

함수 $f(x)$가 $x = a_1$에서 극댓값 $M$일 때, 열린구간 $(0, 4\pi)$에 속하는 모든 값의 집합을 $A$라 하자.
집합 $A$의 원소의 개수를 $n$, 집합 $A$의 원소 중 가장 작은 값을 $a_1$이라 하면,
$$
n a_1 - a_1 b = \frac{p}{q}
$$
이다. $p + q$의 값을 구하시오.
(단, $p, q$는 서로소인 자연수이다.)

문제 23

두 벡터 $\vec{a} = (k, 3)$, $\vec{b} = (1, 2)$에 대하여
$$
\vec{a} + 3\vec{b} = (6, 9)
$$
일 때, $k$의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

문제 24

곡선점의 좌표가 $(1, 0)$이고, 준선이 $x = -1$인 포물선이 점 $(3, a)$를 지날 때, $a$의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

문제 25

좌표공간의 두 점 $A(a, b, 6)$, $B(-4, -2, c)$에 대하여 선분 AB를 3:2로 내분하는 점이 $x$축 위에 있고, 선분 AB를 3:2로 외분하는 점이 $xy$평면 위에 있을 때, $a + b + c$의 값은?
① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15

문제 26

자연수 $n (n \ge 2)$에 대하여 직선 $x = \frac{1}{n}$이 두 타원
$$
C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1, \quad C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1
$$
과 만나는 제1사분면 위의 점을 각각 $P$, $Q$라 하자.
타원 $C_1$ 위의 점 $P$에서의 접선의 기울기를 $\alpha$,
타원 $C_2$ 위의 점 $Q$에서의 접선의 기울기를 $\beta$라 할 때,
$$
6 \le \alpha - \beta \le 15
$$
가 되도록 하는 모든 $n$의 개수는?
① 7 ② 9 ③ 11 ④ 13 ⑤ 15

문제 27

그림과 같이 $AB = 6$, $BC = 4\sqrt{5}$인 사면체 $ABCD$에 대하여,
선분 $BC$의 중점을 $M$이라 하자.
삼각형 $AMD$가 정삼각형이고 직선 $BC$는 평면 $AMD$와 수직일 때,
삼각형 $ACD$에 내접하는 원의 평면 $BCD$ 위로의 정사영의 넓이는?
① $\frac{\sqrt{10}}{4} \pi$ ② $\frac{\sqrt{10}}{6} \pi$ ③ $\frac{\sqrt{10}}{8} \pi$ ④ $\frac{\sqrt{10}}{10} \pi$ ⑤ $\frac{\sqrt{10}}{12} \pi$

문제 28

좌표공간에 $AB = 8$, $BC = 6$, $\angle ABC = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $ABC$와 선분 $AC$를 지름으로 하는 구 $S$가 있다.
점 $S$와 $AB$를 포함하고 평면 $ABC$에 수직인 평면이 구 $S$와 만나서 생기는 원을 $O$라 하자.
원 $O$의 위의 점 중에서 직선 $AC$까지의 거리가 4인 서로 다른 두 점을 $P$, $Q$라 할 때,
선분 $PQ$의 길이는?
① $\sqrt{43}$ ② $\sqrt{47}$ ③ $\sqrt{51}$ ④ $\sqrt{55}$ ⑤ $\sqrt{59}$

문제 29

두 초점이 $F(c, 0), F'(-c, 0)$인 쌍곡선
$$
\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{35} = 1
$$
이 있다.
이 쌍곡선 위에 있는 제1사분면 위의 점 $P$에 대하여 직선 $PF$ 위에 $PQ = PF$인 점 $Q$를 잡자.
삼각형 $QFF'$와 삼각형 $FF'P$가 서로 닮을 때, 삼각형 $PFQ$의 넓이는 $\frac{p}{q}$이다.
$p + q$의 값을 구하시오.
(단, $PF < QF$이고, $p, q$는 서로소인 자연수이다.)

문제 30

좌표평면에 한 변의 길이가 4인 정사각형 $ABCD$가 있다.
$$
|XB + XC| = |XB - XC|
$$
를 만족시키는 점 $X$가 나타내는 도형을 $S$라 하자.
도형 $S$ 위의 점 $P$에 대하여
$$
4PQ = PB + 2PD
$$
를 만족시키는 점을 모은 집합의 최대좌표와 최소좌표를 각각 $M$, $m$이라 하자.
$M \times m$의 값을 구하시오.